1.请问pascal编译程序的源码功能是什么?
2.编程1+2+…+n＜50的最大n
3.怎样用二分法解一元三次方程近似解？求Pascal源程序
4.求背包问题的pascal源代码
5.PAS的pascal
6.PASCAL语言

请问pascal编译程序的功能是什么?

       编辑词条编译程序

        编译程序

        compiler

        把用高级程序设计语言书写的源程序，翻译成等价的程序计算机汇编语言或机器语言的目标程序的翻译程序。编译程序属于采用生成性实现途径实现的源码翻译程序。它以高级程序设计语言书写的程序源程序作为输入，而以汇编语言或机器语言表示的源码目标程序作为输出。编译出的程序代理分发系统源码目标程序通常还要经历运行阶段，以便在运行程序的源码支持下运行，加工初始数据，程序算出所需的源码计算结果。编译程序的程序实现算法较为复杂。这是源码因为它所翻译的语句与目标语言的指令不是一一对应关系,而是一多对应关系;同时也因为它要处理递归调用、动态存储分配、程序多种数据类型，源码以及语句间的程序紧密依赖关系。但是源码，由于高级程序设计语言书写的程序具有易读、易移植和表达能力强等特点，编译程序广泛地用于翻译规模较大、复杂性较高、且需要高效运行的高级语言书写的源程序。

        功能 编译程序的基本功能是把源程序翻译成目标程序。但是,作为一个具有实际应用价值的编译系统,除了基本功能之外，还应具备语法检查、调试措施、修改手段、覆盖处理、目标程序优化、不同语言合用以及人-机联系等重要功能。①语法检查:检查源程序是否合乎语法。如果不符合语法，编译程序要指出语法错误的部位、性质和有关信息。编译程序应使用户一次上机，能够尽可能多地查出错误。②调试措施：检查源程序是否合乎设计者的意图。为此，要求编译程序在编译出的目标程序中安置一些输出指令，以便在目标程序运行时能输出程序动态执行情况的信息，如变量值的更改、程序执行时所经历的线路等。这些信息有助于用户核实和验证源程序是否表达了算法要求。③修改手段：为用户提供简便的修改源程序的手段。编译程序通常要提供批量修改手段（用于修改数量较大或临时不易修改的错误）和现场修改手段（用于运行时修改数量较少、临时易改的错误）。④覆盖处理：主要是为处理程序长、数据量大的大型问题程序而设置的。基本思想是让一些程序段和数据公用某些存储区，其中只存放当前要用的程序或数据;其余暂时不用的程序和数据,先存放在磁盘等辅助存储器中，待需要时动态地调入。⑤目标程序优化：提高目标程序的质量,即占用的存储空间少,程序的运行时间短。依据优化目标的不同，编译程序可选择实现表达式优化、循环优化或程序全局优化。目标程序优化有的在源程序级上进行，有的在目标程序级上进行。⑥不同语言合用：其功能有助于用户利用多种程序设计语言编写应用程序或套用已有的不同语言书写的程序模块。最为常见的是高级语言和汇编语言的合用。这不但可以弥补高级语言难于表达某些非数值加工操作或直接控制、访问外围设备和硬件寄存器之不足，而且还有利于用汇编语言编写核心部分程序,以提高运行效率。⑦人-机联系：确定编译程序实现方案时达到精心设计的功能。目的是便于用户在编译和运行阶段及时了解内部工作情况，有效地监督、控制系统的运行。

        早期编译程序的实现方案，是把上述各项功能完全收纳在编译程序之中。然而，习惯做法是在操作系统的支持下，配置调试程序、编辑程序和连接装配程序，用以协助实现程序的调试、修改、覆盖处理，以及不同语言合用功能。但在设计编译程序时，仍须精心考虑如何与这些子系统衔接等问题。

        工作过程 编译程序必须分析源程序，然后综合成目标程序。首先，检查源程序的正确性，并把它分解成若干基本成分；其次，再根据这些基本成分建立相应等价的目标程序部分。为了完成这些工作，编译程序要在分析阶段建立一些表格,改造源程序为中间语言形式,以便在分析和综合时易于引用和加工（图1）。

        数据结构 分析和综合时所用的主要数据结构，包括符号表、常数表和中间语言程序。符号表由源程序中所用的标识符连同它们的属性组成，其中属性包括种类（如变量、数组、结构、函数、过程等）、类型（如整型、实型、星座网站 源码字符串、复型、标号等），以及目标程序所需的其他信息。常数表由源程序中用的常数组成，其中包括常数的机内表示，以及分配给它们的目标程序地址。中间语言程序是将源程序翻译为目标程序前引入的一种中间形式的程序，其表示形式的选择取决于编译程序以后如何使用和加工它。常用的中间语言形式有波兰表示、三元组、四元组以及间接三元组等。

        分析部分 源程序的分析是经过词法分析、语法分析和语义分析三个步骤实现的。词法分析由词法分析程序（又称为扫描程序）完成，其任务是识别单词（即标识符、常数、保留字，以及各种运算符、标点符号等）、造符号表和常数表，以及将源程序换码为编译程序易于分析和加工的内部形式。语法分析程序是编译程序的核心部分，其主要任务是根据语言的语法规则，检查源程序是否合乎语法。如不合乎语法，则输出语法出错信息；如合乎语法，则分解源程序的语法结构，构造中间语言形式的内部程序。语法分析的目的是掌握单词是怎样组成语句的，以及语句又是如何组成程序的。语义分析程序是进一步检查合法程序结构的语义正确性，其目的是保证标识符和常数的正确使用，把必要的信息收集和保存到符号表或中间语言程序中，并进行相应的语义处理。

        综合部分 综合阶段必须根据符号表和中间语言程序产生出目标程序，其主要工作包括代码优化、存储分配和代码生成。代码优化是通过重排和改变程序中的某些操作，以产生更加有效的目标程序。存储分配的任务是为程序和数据分配运行时的存储单元。代码生成的主要任务是产生与中间语言程序符等价的目标程序，顺序加工中间语言程序，并利用符号表和常数表中的信息生成一系列的汇编语言或机器语言指令。

        结构 编译过程分为分析和综合两个部分，并进一步划分为词法分析、语法分析、 语义分析、 代码优化、存储分配和代码生成等六个相继的逻辑步骤。这六个步骤只表示编译程序各部分之间的逻辑联系，而不是时间关系。编译过程既可以按照这六个逻辑步骤顺序地执行，也可以按照平行互锁方式去执行。在确定编译程序的具体结构时，常常分若干遍实现。对于源程序或中间语言程序，从头到尾扫视一次并实现所规定的工作称作一遍。每一遍可以完成一个或相连几个逻辑步骤的工作。例如，可以把词法分析作为第一遍；语法分析和语义分析作为第二遍；代码优化和存储分配作为第三遍；代码生成作为第四遍。反之，为了适应较小的存储空间或提高目标程序质量，也可以把一个逻辑步骤的工作分为几遍去执行。例如，代码优化可划分为代码优化准备工作和实际代码优化两遍进行。

        一个编译程序是否分遍,以及如何分遍,根据具体情况而定。其判别标准可以是存储容量的大小、源语言的繁简、解题范围的宽窄，以及设计、编制人员的多少等。分遍的好处是各遍功能独立单纯、相互联系简单、逻辑结构清晰、优化准备工作充分。缺点是各遍之中不可避免地要有些重复的部分，而且遍和遍之间要有交接工作，因之增加了编译程序的长度和编译时间。

        一遍编译程序是一种极端情况，整个编译程序同时驻留在内存,彼此之间采用调用转接方式连接在一起(图2)。当语法分析程序需要新符号时，它就调用词法分析程序；当它识别出某一语法结构时，它就调用语义分析程序。语义分析程序对识别出的结构进行语义检查，并调用“存储分配”和“代码生成”程序生成相应的目标语言指令。

        随着程序设计语言在形式化、结构化、直观化和智能化等方面的发展，作为实现相应语言功能的编译程序，也正向自动程序设计的目标发展，以便提供理想的程序设计工具。

        参考书目

        陈火旺、钱家骅、pb9.0 源码孙永强编：《编译原理》，国防工业出版社，北京，。

        A.V.Aho, Principles of Compiler Design,Addison Wes-ley, Reading, Massachusetts, .

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        编译程序 (compiler)

        将用高级程序设计语言书写的源程序，翻译成等价的用计算机汇编语言、机器语言或某种中间语言表示的目标程序的翻译程序。用户利用编译程序实现数据处理任务时，先要经历编译阶段，再经历运行阶段。编译阶段以源程序作为输入，以目标程序作为输出，其主要任务是将源程序翻译成目标程序。运行阶段的任务是运行所编译出的目标程序，实现源程序中指定的数据处理任务，其工作通常包括：输入初始数据，对数据或文件进行数据加工，输出必要信息和加工结果等。编译程序的实现算法较为复杂。这是因为它所翻译的语句与目标语言的指令不是一一对应关系，而是一多对应关系；同时因为它要在编译阶段处理递归调用、动态存储分配、多种数据类型 实现 、 代码生成与代码优化等繁杂技术问题；还要在运行阶段提供良好、有效的运行环境。由于高级程序设计语言书写的程序具有易读、易移植和表达能力强等特点，所以编译程序广泛地用于翻译规模较大、复杂性较高、且需要高效运行的高级语言书写的源程序。

        功能 编译程序的基本功能是把源程序翻译成目标程序。此外，还要具备语法检查、调试措施、修改手段、覆盖处理、目标程序优化、不同语言合用以及人机联系等具有实际应用价值的重要功能。①语法检查。检查源程序是否合乎语法 。②调试措施。检查源程序是否合乎用户的设计意图。③修改手段。为用户提供简便的修改源程序的手段。④覆盖处理。主要为处理程序较长、数据量较大的大型问题程序而设置。基本思想是让一些程序段和数据公用某些存储区，其中只存放当前要用的程序段或数据，其余暂时不用的程序段和数据均存放在磁盘等辅助存储器中，待需要时动态地调入存储区中运行。⑤目标程序优化。提高目标程序的质量，即使编译出的目标程序运行时间短、占用存储少。⑥不同语言合用 。便于用户利用多种程序设计语言编写应用程序或套用已有的不同语言书写的程序模块。最为常见的是高级语言和汇编语言的合用。⑦人机联系。便于用户在编译和运行阶段及时了解系统内部工作情况，有效地监督、控制系统的运行。

        早期编译程序的实现方案，是把上述各项功能完全收纳在编译程序之中 。后来的习惯方法是在操作系统的支持下，配置编辑程序、调试程序、连接装配程序等实用程序或工具软件，目的是创造一个良好的开发环境和运行环境，便于应用软件的编程、修改、调试、集成以及报表生成、界面设计等工作。但编译程序设计者设计编译方案时，仍需精心考虑上述各项功能，较好地解决目标程序与这些实用程序或软件工具之间的配合与衔接等问题。

        工作过程 编译程序必须分析源程序，然后综合成目标程序。为达到这个目的，编译程序要在分析阶段建立一些表格，改造源程序为中间语言形式，以便在分析和综合时易于引用和加工。

        数据结构 分析和综合时所用的主要数据结构，包括符号表、常数表和中间语言程序。符号表由源程序中所用的标识符连同它们的属性组成，其中属性包括种类（如变量、数组、结构、函数、过程等）、类型（如整型、实型、php 取网页源码字符串、复型、标号等），以及目标程序所需的其他信息。常数表由源程序中用的常数组成，其中包括常数的机内表示以及分配给它们的目标程序地址。中间语言程序是将源程序翻译成目标程序前引入的一种中间形式的程序，其表示形式的选择取决于编译程序以后如何使用它和如何加工它。常用的中间语言形式有波兰表示、三元组、四元组以及间接三元组等。

        分析部分 源程序的分析是经过词法分析、语法分析和语义分析三个步骤实现的。词法分析由词法分析程序（又称为扫描程序 ）完成，其任务是识别单词（即标识符 、常数、保留字，以及各种运算符、标点符号等）、造符号表和常数表，以及将源程序换码为编译程序易于分析和加工的内部形式。语法分析程序是编译程序的核心部分，其主要任务是根据语言的语法规则，检查源程序是否合乎语法，并分解源程序。如果不合乎语法，则输出语法出错信息；如果合乎语法，则分解源程 序的语法结构， 构造中间语 言形式的内部程序。语法分析的目的是掌握单词是怎样组成语句的，以及语句又是如何组成程序的。语义分析程序进一步检查合法程序结构的语义正确性，其目的是保证标识符和常数的正确使用，把必要的信息收集和保存到符号表或中间语言程序中，并进行相应的语义处理。

        综合部分 综合阶段根据符号表和中间语言程序产生出目标程序，其主要工作包括代码优化、存储分配和代码生成。代码优化是通过重排和改变程序中的某些操作，以产生更加有效的目标程序。存储分配是为程序和数据分配运行时的存储单元。 代码生成是产 生与中间语 言程序等价的目标程序，亦即，顺序加工中间语言程序，利用符号表和常数表中的信息生成一系列的汇编语言或机器语言指令。

        动态 世纪年代以后，程序设计语言在形式化、结构化、直观化和智能化等方面有了长足的进步和发展，主要表现在两个方面：①随着程序设计理论和方法的发展，相继推出了一系列新型程序设计语言，如结构化程序设计语言、并发程序设计语言、分布式程序设计语言、函数式程序设计语言、智能化程序设计语言、面向对象程序设计语言等；②基于语法、语义和语用方面的研究成果，从不同的角度和层次上深刻地揭示了程序设计语言的内在规律和外在表现形式。与此相应地，作为实现程序设计语言重要手段之一的编译程序，在体系结构、设计思想、实现技术和处理内容等方面均有不同程度的发展、变化和扩充。另外，编译程序已作为实现编程的重要软件工具，被纳入到软件支援环境的基本层软件工具之中。因此，规划编译程序实现方案时，应从所处的具体软件支援环境出发，既要遵循整个环境的全局性要求和规定，又要精心考虑与其他诸层软件 工具之间的相互支援、配合和衔接关系。

编程1+2+…+n＜的最大n

           i,n:longint;

       begin

           while n< do

           begin

               inc(i);

               inc(i,n);

           end;

           writeln(i-1);

       end.

       这时pascal的代码，纯手打，没有编译，可能会有小错误，但是假如LZ不是pascal的话就听听我接下来的思路：

       先递增一个i，这是为了接下来储存一个sum，sum就是和的意思，但是为什么不直接递增sum呢？这是因为题目的1+2+3+4......所以当sum超过了五十之后就可以退出，前提是这里有个while 循环，判断是否可以退出就行了，最后输出的时候就输出i-1，    但你可能会问为什么要输出i-1?直接输出i不就好了？——————这是因为你在超过了的时候才退出来的，而不是前一个退出来的，所以答案应该要减一！

       有不懂可以追问哟！

怎样用二分法解一元三次方程近似解？求Pascal源程序

       二分法

       数学方面：

       一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。

       解方程即要求f(x)的所有零点。

       先找到a、b，jsp 权限管理源码使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],

       现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b

       ①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，

       如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用

       中点函数值判断。

       如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用

       中点函数值判断。

       这样就可以不断接近零点。

       通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

       给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

       1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.

       2 求区间(a,b)的中点c.

       3 计算f(c).

       (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;

       (2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

       (3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

       4 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

       由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。

       例:(C语言)

       方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3

       使用示例：

       input a b e: 1 2 1e-5

       solution: 1.

       源码如下：

       #include <stdio.h>

       #include <stdlib.h>

       #include <math.h>

       #include <assert.h>

       double f(double x)

       {

       return 1+x-x*x*x;

       }

       int main()

       {

       double a = 0, b = 0, e = 1e-5;

       printf("input a b e: ");

       scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e);

       e = fabs(e);

       if (fabs(f(a)) <= e)

       {

       printf("solution: %lg\n", a);

       }

       else if (fabs(f(b)) <= e)

       {

       printf("solution: %lg\n", b);

       }

       else if (f(a)*f(b) > 0)

       {

       printf("f(%lg)*f(%lg) > 0 ! need <= 0 !\n", a, b);

       }

       else

       {

       while (fabs(b-a) > e)

       {

       double c = (a+b)/2.0;

       if (f(a)* f ( c ) < 0)

       b = c;

       else

       a = c;

       }

       printf("solution: %lg\n", (a+b)/2.0);

       }

       return 0;

       }

       例：C++语言[类C编写].

       |f(x)|<^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6

       #include"iostream"

       #include"stdio.h"

       #include"math.h"

       #define null 0

       double fx(double); //f(x)函数

       void main()

       {

       double xa(null),xb(null),xc(null);

       do

       {

       printf("请输入一个范围x0 x1：");

       std::cin>>xa>>xb; //输入xa xb的值

       printf("%f %f",xa,xb);

       }

       while(fx(xa)*fx(xb)>=0); //判断输入范围内是否包含函数值0

       do

       {

       if(fx((xc=(xa+xb)/2))*fx(xb)<0) //二分法判断函数值包含0的X取值区间

       {

       xa=xc;

       }

       else

       {

       xb=xc;

       }

       }

       while(fx(xc)>pow(.0,-5)||fx(xc)<-1*pow(.0,-5));//判断x根是否在接近函数值0的精确范围内

       printf("\n 得数为：%f",xc);

       }

       double fx(double x)

       {

       return(2.0*pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3*x-6.0);

       }

       经济学方面：

       传统的经济学家把经济分为实物经济和货币经济两部分，其中，经济理论分析实际变量的决定，而货币理论分析价格的决定，两者之间并没有多大的关系，这就是所谓的二分法。

求背包问题的pascal源代码

       P: 背包问题

       题目

       有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       基本思路

       这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

       用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

       这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

       注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

       优化空间复杂度

       以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

       先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

       for i=1..N

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       其中的f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解背包问题是十分必要的。

       总结

       背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

       P: 完全背包问题

       题目

       有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       基本思路

       这个问题非常类似于背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}。这跟背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间则不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

       将背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

       一个简单有效的优化

       完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

       转化为背包问题求解

       既然背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

       更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。 但我们有更优的O(VN)的算法。 * O(VN)的算法 这个算法使用一维数组，先看伪代码： <pre class"example"> for i=1..N for v=0..V f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       你会发现，这个伪代码与P的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

       这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

       总结

       完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

       P: 多重背包问题

       题目

       有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       基本算法

       这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}。复杂度是O(V*∑n[i])。

       转化为背包问题

       另一种好想好写的基本方法是转化为背包求解：把第i种物品换成n[i]件背包中的物品，则得到了物品数为∑n[i]的背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*∑n[i])。

       但是我们期望将它转化为背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

       方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

       分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

       这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*∑log n[i])的背包问题，是很大的改进。

       O(VN)的算法

       多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。

       小结

       这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V*∑n[i])改进到O(V*∑log n[i])的过程，还知道了存在应用超出NOIP范围的知识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并用尽量简洁的程序来实现。

       P: 混合三种背包问题

       问题

       如果将P、P、P混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。应该怎么求解呢？

       背包与完全背包的混合

       考虑到在P和P中最后给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。伪代码如下：

       for i=1..N

        if 第i件物品是背包

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

        else if 第i件物品是完全背包

        for v=0..V

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       再加上多重背包

       如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话，用P中将每个这类物品分成O(log n[i])个背包的物品的方法也已经很优了。

       小结

       有人说，困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论，但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来背包、完全背包、多重背包都不是什么难题，但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实，领会三种基本背包问题的思想，就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。

       P: 二维费用的背包问题

       问题

       二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

       算法

       费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：f[i][v][u]=max{ f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用顺序的循环，当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。

       物品总个数的限制

       有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

       另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0..V][M]范围内寻找答案。

       小结

       事实上，当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

       P: 分组的背包问题

       问题

       有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       算法

       这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有f[k][v]=max{ f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}。

       使用一维数组的伪代码如下：

       for 所有的组k

        for 所有的i属于组k

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

       另外，显然可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。

       小结

       分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

       P: 有依赖的背包问题

       简化的问题

       这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说，i依赖于j，表示若选物品i，则必须选物品j。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

       算法

       这个问题由NOIP金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法，将不依赖于别的物品的物品称为“主件”，依赖于某主件的物品称为“附件”。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。

       按照背包问题的一般思路，仅考虑一个主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一个也不选，仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。（事实上，设有n个附件，则策略有2^n+1个，为指数级。）

       考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。

       再考虑P中的一句话： 可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。 这提示我们，对于一个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，我们可以对主件i的“附件集合”先进行一次背包，得到费用依次为0..V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组，其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次背包后，将主件i转化为V-c[i]+1个物品的物品组，就可以直接应用P的算法解决问题了。

       更一般的问题

       更一般的问题是：依赖关系以图论中“森林”的形式给出（森林即多叉树的集合），也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。

       解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。

       事实上，这是一种树形DP，其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次DP以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完P后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。

       小结

       NOIP的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。

       我想说：失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。

       P: 泛化物品

       定义

       考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。

       更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中，泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h，当分配给它的费用为v时，能得到的价值就是h(v)。

       这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V]，给它费用v，可得到价值h[V]。

       一个费用为c价值为w的物品，如果它是背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当v被c整除时有h(v)=v/c*w，其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品，那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当v被c整除且v/c<=n，其它情况函数值均为0。

       一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v，若物品组中不存在费用为v的的物品，则h(v)=0，否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。

       泛化物品的和

       如果面对两个泛化物品h和l，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用v，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于0..V的每一个整数v，可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到，f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0..V的函数，也就是说，f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。

       由此可以定义泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f满足f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}，则称f是h与l的和，即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2)。

       泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s，则答案就是s[0..V]中的最大值。

       背包问题的泛化物品

       一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数v求得：若背包容量为v，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子域（例如0..V）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。

       综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。

       小结

       本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说，是我在学习函数式编程的 Scheme 语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象，也许在“模型的抽象程度”这一方面已经超出了NOIP的要求，所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的OI之路逐渐延伸，有一天你会理解的。

       我想说：“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。

       P: 背包问题问法的变化

       以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。

       例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。

       还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。

       下面说一些变化更大的问法。

       输出方案

       一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。

       还是以背包为例，方程为f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）：

       i=N

       v=V

       while(i>0)

        if(g[i][v]==0)

        print "未选第i项物品"

        else if(g[i][v]==1)

        print "选了第i项物品"

        v=v-c[i]

       另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来，也即不须纪录g数组，将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v]，g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。

       输出字典序最小的最优方案

       这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出背包最小字典序的方案为例。

       一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为v-c[1]，物品为2..N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2..N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。

       在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从N到1输入时，如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立，应该按照后者（即选择了物品i）来输出方案。

       求方案总数

       对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

       对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是背包中的物品，转移方程即为f[i][v]=sum{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，初始条件f[0][0]=1。

       事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。

       最优方案的总数

       这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。还是以背包为例。

       结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：f[i][v]意义同前述，g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下：

       for i=1..N

        for v=0..V

        f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

        g[i][v]=0

        if(f[i][v]==f[i-1][v])

        inc(g[i][v],g[i-1][v]

        if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])

        inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])

       如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。

       小结

       显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于NOIP，应该也不难想出算法。

       触类旁通、举一反三，应该也是一个OIer应有的品质吧。

PAS的pascal

       ç”¨ä»»ä½•ä¸€ç§æ–‡æœ¬æ–‡ä»¶ç¼–辑器都可打开，最简单当属记事本. 但它是PASCAL源程序文件，所以要想打开编译的话，可能用以下程序：

       â’ˆ Turbo Pascal，这是Borland公司早期的Pascal开发软件.

       â’‰ Delphi，这是Borland公司近期的Pascal开发软件.

       â’Š Free Pascal，这是一种开放源码的Pascal开发软件.

PASCAL语言

       é¡¶æ¥¼çš„程序写得有点长。

       æˆ‘的程序如下：

       const p:array [0..] of integer=(0,,,,,,,,,,,);

       var a,b,c,t:integer;

       begin

        read(a,b,c); { 依次读入年，月，日}

        if (a mod =0) or ((a mod 4=0) and (a mod <>0)) then

        if b>2 then t:=p[b-1]+c+1 else t:=p[b-1]+c else t:=p[b-1]+c;

        writeln(t);

       end.