最优化理论之负梯度方法与Newton型方法

       在前次分享中，源码我们探讨了无约束优化的公式基础结构。接下来，源码我们将深入研究针对不同类型最优化问题的公式优化方法，包括理论构建、源码实施流程和收敛性证明，公式开放麒麟源码特别是源码负梯度法和Newton型方法。这些方法在金融科技和机器学习领域中扮演着关键角色，公式例如在sklearn新版的源码Logistic回归优化中，BFGS方法是公式默认选择。

       首先，源码最速下降法假设在第k步，公式寻找使函数在[公式] 点下降最快的源码方向。尽管方向众多，公式但根据Cauchy-Schwarz不等式，源码动漫源码教程当[公式] 时，[公式] 是最小的。选择[公式] 作为负梯度方向，配合精确线搜索，形成最速下降法。这种方法的收敛速度受G矩阵条件数影响，病态矩阵可能导致收敛缓慢。合法出售源码

       接着，最速下降法具有全局收敛性，但对于正定二次函数，其收敛速度为线性，取决于G的特征值。而当矩阵条件数接近1时，收敛速度接近超线性；反之，vr溯源码病态矩阵将减缓收敛。

       虽然最速下降法简单易行，但它存在缺点，如线性收敛、可能出现Zigzag现象，以及缺乏二次终止性。而基本Newton方法则利用连续二阶导数，怎么打源码通过泰勒展开近似优化问题，理论上具有二阶收敛性，但计算负担大，且可能会因矩阵奇异或不正定而失败。

       阻尼Newton方法在基本方法的基础上引入一维线搜索，确保对正定矩阵的单调下降，即使初始点远离极小值，仍能收敛。混合方法结合了基本和负梯度方法，解决Hesse矩阵问题。LM方法针对奇异、不正定情况提供了简单处理策略，通过求解[公式] 来确定方向。

       在优化实践中，牛顿法展示了二阶收敛性，但初始点远离极小点时，可能出现局部收敛问题。而拟牛顿方法通过拟合Hesse矩阵，降低了对二阶导数的需求，如对称秩1和秩2公式，以及DFP、BFGS和Broyden族方法。实际案例中，如Rosenbrock函数优化，展示了这些方法的性能差异。

       总的来说，负梯度法与Newton型方法在最优化中各有优势，根据问题特性选择合适的优化策略至关重要。下一次分享将关注共轭梯度法，它是大规模优化问题的重要解决方案。